一笔画问题 要图和解释
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一笔画问题是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题[1]。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。目录 [隐藏]1 问题的提出 2 一笔画定理 2.1 定理一 2.2 定理二 3 例子 3.1 七桥问题 3.2 一个可以一笔画的例子 4 一笔画问题与哈密顿问题 5 参见 6 参考来源 [编辑] 问题的提出一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边的连通图 G(S,E)，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。用图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。这样的图现称为欧拉图。这时遍历的路径称作欧拉路径（一个圈或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路[1]。一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画的图，探讨最少能用多少笔来画成。[编辑] 一笔画定理对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明[1]。[编辑] 定理一有限图 G 是链或圈的充要条件是：G为连通图，且其中奇顶点的数目等于0或者2。有限连通图 G 是圈当且仅当它没有奇顶点[2]。证明[2][3]：必要性：如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是0，要么是2。 充分性： 如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个圈 C1。如果这个圈就是原图，那么结束。如果不是，那么由于原图是连通的，C1 和原图的其它部分必然有公共顶点 s1。从这一点出发，在原图的剩余部分中重复上述步骤。由于原图是有限图，经过若干步后，全图被分为一些圈。由于两个相连的圈就是一个圈，原来的图也就是一个圈了。 如果图中有两个奇顶点 u 和 v，那么加多一条边将它们连上后得到一个无奇顶点的有限连通图。由上知这个图是一个圈，因此去掉新加的边后成为一条链，起点和终点是 u 和 v。 [编辑] 定理二如果有限连通图 G 有 2k 个奇顶点，那么它可以用 k 笔画成，银猜枣并且至少要用 k 笔画成[2]。证明[2][3]：将这 2k 个奇顶点分成 k 对后分别连起，则得到一个无奇顶点的锋拆有限连通图。由上知这个图是一个圈，因此去掉新加的边后至多成为 k 条链，因此必然可以用 k 笔画成。但是假设全图可以分为 q 条链，则由定理一兆没知，每条链中只有两个奇顶点，于是 。因此必定要 k 笔画成。[编辑] 例子 图一：无法一笔画 图二：尽管按照中文书写习惯“串”字不止一笔，但它可以一笔写成。[编辑] 七桥问题右图一是七桥问题抽象化后得到的模型，由四个顶点和七条边组成。注意到四个顶点全是奇顶点，由定理一可知无法一笔画成。[编辑] 一个可以一笔画的例子图二是中文“串”字抽象化后得到的模型。由于只有最上方和最下方的顶点是奇顶点，由定理一知它可以一笔画成。[编辑] 一笔画问题与哈密顿问题一笔画问题讨论的是能否不重复地遍历一个图的所有边，至于其中有否顶点的遍历或重复经过则没有要求。哈密顿问题讨论的则是顶点的遍历：能否不重复地遍历一个图的所有顶点？[4]哈密顿问题由哈密顿在1856年首次提出，至今尚未完全解决[2]。[编辑] 参见柯尼斯堡七桥问题 哈密尔顿问题 树 (图论) 中国邮递员问题 [编辑] 参考来源^ 1.0 1.1 1.2 Janet Heine Barnett, Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The KÄonigsberg Bridge Problem ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 熊斌，郑仲义，《图论》，第四章，38-46，华东师范大学出版社。 ^ 3.0 3.1 详细的证明 ^ 欧拉图和哈密顿图
